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          《圓》第3課時教案

          日期:2022-06-18

          這是《圓》第3課時教案,是優秀的數學教案文章,供老師家長們參考學習。

            教學內容

            1.圓周角的概念.

            2.圓周角定理:在同圓或等圓中,同弧或等弧所對的圓周角相等,都等于這條弦所對的圓心角的一半.

            推論:半圓(或直徑)所對的圓周角是直角,90°的圓周角所對的弦是直徑及其它們的應用.

            教學目標

            1.了解圓周角的概念.

            2.理解圓周角的定理:在同圓或等圓中,同弧或等弧所對的圓周角相等,都等于這條弧所對的圓心角的一半.

            3.理解圓周角定理的推論:半圓(或直徑)所對的圓周角是直角,90°的圓周角所對的弦是直徑.

            4.熟練掌握圓周角的定理及其推理的靈活運用.

            設置情景,給出圓周角概念,探究這些圓周角與圓心角的關系,運用數學分類思想給予邏輯證明定理,得出推導,讓學生活動證明定理推論的正確性,最后運用定理及其推導解決一些實際問題.

            重難點、關鍵

            1.重點:圓周角的定理、圓周角的定理的推導及運用它們解題.

            2.難點:運用數學分類思想證明圓周角的定理.

            3.關鍵:探究圓周角的定理的存在.

            教學過程

            一、復習引入

            (學生活動)請同學們口答下面兩個問題.

            1.什么叫圓心角?

            2.圓心角、弦、弧之間有什么內在聯系呢?

            老師點評:(1)我們把頂點在圓心的角叫圓心角.

            (2)在同圓或等圓中,如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等,那么它們所對的其余各組量都分別相等.

            剛才講的,頂點在圓心上的角,有一組等量的關系,如果頂點不在圓心上,它在其它的位置上?如在圓周上,是否還存在一些等量關系呢?這就是我們今天要探討,要研究,要解決的問題.

            二、探索新知

            問題:如圖所示的⊙O,我們在射門游戲中,設E、F是球門,設球員們只能在所在的⊙O其它位置射門,如圖所示的A、B、C點.通過觀察,我們可以發現像∠EAF、∠EBF、∠ECF這樣的角,它們的頂點在圓上,并且兩邊都與圓相交的角叫做圓周角.

            現在通過圓周角的概念和度量的方法回答下面的問題.

            1.一個弧上所對的圓周角的個數有多少個?

            2.同弧所對的圓周角的度數是否發生變化?

            3.同弧上的圓周角與圓心角有什么關系?

            (學生分組討論)提問二、三位同學代表發言.

            老師點評:www.1230.org 初中數學資源網

            1.一個弧上所對的圓周角的個數有無數多個.

            2.通過度量,我們可以發現,同弧所對的圓周角是沒有變化的.

            3.通過度量,我們可以得出,同弧上的圓周角是圓心角的一半.

            下面,我們通過邏輯證明來說明“同弧所對的圓周角的度數沒有變化,并且它的度數恰好等于這條弧所對的圓心角的度數的一半.”

            (1)設圓周角∠ABC的一邊BC是⊙O的直徑,如圖所示

            ∵∠AOC是△ABO的外角

            ∴∠AOC=∠ABO+∠BAO

            ∵OA=OB

            ∴∠ABO=∠BAO

            ∴∠AOC=∠ABO

            ∴∠ABC= ∠AOC

            (2)如圖,圓周角∠ABC的兩邊AB、AC在一條直徑OD的兩側,那么∠ABC= ∠AOC嗎?請同學們獨立完成這道題的說明過程.

            老師點評:連結BO交⊙O于D同理∠AOD是△ABO的外角,∠COD是△BOC的外角,那么就有∠AOD=2∠ABO,∠DOC=2∠CBO,因此∠AOC=2∠ABC.

            (3)如圖,圓周角∠ABC的兩邊AB、AC在一條直徑OD的同側,那么∠ABC= ∠AOC嗎?請同學們獨立完成證明.

            老師點評:連結OA、OC,連結BO并延長交⊙O于D,那么∠AOD=2∠ABD,∠COD=2∠CBO,而∠ABC=∠ABD-∠CBO= ∠AOD- ∠COD= ∠AOC

            現在,我如果在畫一個任意的圓周角∠AB′C,同樣可證得它等于同弧上圓心角一半,因此,同弧上的圓周角是相等的.

            從(1)、(2)、(3),我們可以總結歸納出圓周角定理:

            在同圓或等圓中,同弧等弧所對的圓周角相等,都等于這條弧所對的圓心角的一半.

            進一步,我們還可以得到下面的推導:

            半圓(或直徑)所對的圓周角是直角,90°的圓周角所對的弦是直徑.

            下面,我們通過這個定理和推論來解一些題目.

            例1.如圖,AB是⊙O的直徑,BD是⊙O的弦,延長BD到C,使AC=AB,BD與CD的大小有什么關系?為什么?

            分析:BD=CD,因為AB=AC,所以這個△ABC是等腰,要證明D是BC的中點,只要連結AD證明AD是高或是∠BAC的平分線即可.

            解:BD=CD

            理由是:如圖24-30,連接AD

            ∵AB是⊙O的直徑

            ∴∠ADB=90°即AD⊥BC

            又∵AC=AB

            ∴BD=CD

            三、鞏固練習

            1.教材P92 思考題.

            2.教材P93 練習.

            四、應用拓展

            例2.如圖,已知△ABC內接于⊙O,∠A、∠B、∠C的對邊分別設為a,b,c,⊙O半徑為R,求證: = = =2R.

            分析:要證明 = = =2R,只要證明 =2R, =2R, =2R,即sinA= ,sinB= ,sinC= ,因此,十分明顯要在直角三角形中進行.

            證明:連接CO并延長交⊙O于D,連接DB

            ∵CD是直徑

            ∴∠DBC=90°

            又∵∠A=∠D

            在Rt△DBC中,sinD= ,即2R=

            同理可證: =2R, =2R

            ∴ = = =2R

            五、歸納小結(學生歸納,老師點評)

            本節課應掌握:

            1.圓周角的概念;

            2.圓周角的定理:在同圓或等圓中,同弧或等弧所對的圓周角相等,都相等這條弧所對的圓心角的一半;

            3.半圓(或直徑)所對的圓周角是直角,90°的圓周角所對的弦是直徑.

            4.應用圓周角的定理及其推導解決一些具體問題.

            六、布置作業

            1.教材P95 綜合運用9、10、11 拓廣探索12、13.

            2.選用課時作業設計.

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